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磨铁读书 >  文曲在古 >   第209章 均值换元法之妙

第 209 章 均值换元法之妙

一日,学堂之内,戴浩文正欲讲授新的知识。

戴浩文轻拂衣袖,缓声道:“今日为师要与尔等传授一种奇妙之法,名曰均值换元法。”

众学子皆正襟危坐,目光炯炯。

李华拱手问道:“先生,此均值换元法究竟何意?”

戴浩文微笑着回道:“莫急,且听为师慢慢道来。假设有一方程,形如 x + y = 10,且知 x - y = 2,若要求此 x 与 y 之值,当如何解之?”

张明皱眉思索片刻,道:“先生,吾等可否先消元求解?”

戴浩文微微摇头,道:“此法可行,然今之所学乃均值换元。吾等可设 x = a + b,y = a - b,其中 a 为 x 与 y 之均值,b 为二者之差之半。”

王强疑惑道:“先生,为何如此设之?”

戴浩文耐心解释道:“如此设之,可使方程简化,易于求解。今设罢,将其代入上述方程,可得何?”

赵婷轻声道:“则有 (a + b) + (a - b) = 10,2a = 10,a = 5。”

戴浩文点头称许:“赵婷聪慧。那再看 x - y 之方程,又当如何?”

李华忙道:“则为 (a + b) - (a - b) = 2,2b = 2,b = 1。”

戴浩文抚掌笑道:“善!既得 a = 5,b = 1,那 x 与 y 之值为何?”

张明恍然道:“则 x = a + b = 6,y = a - b = 4。”

戴浩文又道:“此乃简单之例,若方程更为复杂,如 x2 + y2 = 25,x + y = 7,又当如何?”

王强挠头道:“先生,此事更为难解。”

戴浩文笑曰:“依旧可用均值换元,设 x = u + v,y = u - v。则 x2 + y2 = (u + v)2 + (u - v)2 = 2(u2 + v2) = 25,u2 + v2 = 25\/2。又 x + y = 2u = 7,u = 7\/2。”

赵婷接着道:“那 v2 = 25\/2 - 49\/4 = 1\/4,v = ±1\/2。”

戴浩文颔首:“极是。如此可得 x 与 y 之值。”

李华叹道:“先生,此均值换元法甚是巧妙,然需多加练习方能熟练运用。”

戴浩文正色道:“诚然。数学之法,皆需勤加研习,方能融会贯通。今再看此例,若 x3 + y3 = 35,x + y = 5,汝等试解之。”

众学子纷纷低头思索,奋笔计算。

戴浩文在堂中踱步,不时指点一二。

......

如此,在师生的一问一答、一思一解之中,学子们对于均值换元法的理解愈发深刻,学问亦日益精进。一日授课结束,学子们散去,唯张明留于堂中。

张明近前,拱手道:“先生,弟子于均值换元法仍有几处不明,望先生解惑。”

戴浩文和颜悦色道:“但说无妨。”

张明道:“若所给方程并非两式,仅一式,如 x2 + 2xy + y2 = 9,当如何用均值换元?”

戴浩文思索片刻,道:“此式可化为 (x + y)2 = 9,仍可设 x + y = u,解之可得 u 值,进而求得 x 与 y。”

张明又问:“那若式中含分数,又当如何?”

戴浩文轻道:“莫慌,若如 (x + 1\/2y)2 = 4,可设 x + 1\/2y = v ,照此前之法求解。”

张明似有所悟,点头道:“多谢先生,然弟子在计算时,常易出错,不知先生有何妙法?”

戴浩文笑曰:“计算之要,在于心细。每步皆需谨慎,运算完毕,当复查之。”

张明再道:“先生,此均值换元法于生活中可有实用之处?”

戴浩文缓缓道:“生活诸多情境,皆含数理。若分物、量地,或算财货收支,皆可能用之。”

张明眼睛一亮,道:“原来如此,先生教诲,弟子铭记。”

数日后,课堂之上。

戴浩文问道:“前几日所讲均值换元法,尔等可还记得?”

众学子齐声应道:“记得。”

戴浩文道:“那吾出一题,以验汝等所学。已知 x + 3y = 12,x2 + 3y2 = 30,求 x 与 y 之值。”

学子们纷纷提笔计算,少顷,李华起身道:“先生,弟子算得 x = 3,y = 3。”

戴浩文微微点头,道:“李华算得不错,还有其他解法否?”

王强起身道:“先生,弟子设 x = 6 + m,y = 2 - m ,解得相同之结果。”

戴浩文赞道:“王强亦佳。”

赵婷道:“先生,若式中含参数,又当如何?”

戴浩文道:“含参数亦无妨,依均值换元之理,细心求解即可。”

如此,学子们在戴浩文的教导下,对均值换元法的掌握日益娴熟。

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