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第 217 章 深入椭圆的世界

几日之后,戴浩文先生再次踏入讲堂。学生们早已整齐端坐,眼中满是对知识的渴望。

戴浩文清了清嗓子,说道:“今日,吾等继续探究椭圆之奥秘。上次所讲,诸位对椭圆已有初步认知,今次着重讲解椭圆之焦点与三角形性质。”

李华拱手问道:“先生,这椭圆的焦点究竟有何奇妙之处?”

戴浩文微微一笑,道:“李华,且听吾道来。椭圆之焦点,乃椭圆性质之关键所在。设椭圆两焦点分别为 F?、F?,椭圆上任意一点为 p,便可得三角形 pF?F?。此三角形之中,存有诸多有趣之性质。”

王强急切问道:“先生,愿闻其详。”

戴浩文踱步至黑板前,边画边说:“其一,三角形 pF?F?之周长,恒为定值,其值为 2a + 2c,其中 a 为长半轴,c 为焦距之半。”

赵婷疑惑道:“先生,此定值如何得来?”

戴浩文耐心解释:“赵婷,汝且思之。椭圆上一点 p 至两焦点距离之和为 2a,而两焦点间距离为 2c,故周长为 2a + 2c。”

张明思索片刻,道:“先生,那此三角形之面积可有定法计算?”

戴浩文点头道:“张明此问甚妙。三角形 pF?F?之面积,可由公式 S = b2 x tan(θ\/2)计算,其中 θ 为角 F?pF?。”

李华挠头道:“先生,这θ又如何得知?”

戴浩文笑曰:“李华莫急,θ虽难求,然若已知点 p 坐标及椭圆方程,通过向量之法,可算得角 F?pF?之余弦值,进而得θ。”

王强又道:“先生,若已知三角形面积,能否反推椭圆之某些参数?”

戴浩文赞许道:“王强能作此想,实乃善思。若已知面积,结合其他条件,或可推知椭圆之某些参数。”

此时,学生们皆陷入沉思,各自在脑中推演。

戴浩文见状,说道:“吾再举一例,助汝等理解。假设有一椭圆,焦点 F?(-2, 0),F?(2, 0),且三角形 pF?F?面积为 3,点 p 纵坐标为 1,试求椭圆方程。”

学生们纷纷提笔计算。

过了片刻,赵婷道:“先生,学生算得 c = 2,由面积可得底边 F?F?长度为 4,高为 1,故三角形面积为 2,与题中不符,是否有误?”

戴浩文摇头道:“赵婷,再思之。面积应为 1\/2 x 4 x 1 = 2 ,然题中面积为 3,可知另有玄机。”

李华恍然道:“先生,莫非与角 F?pF?有关?”

戴浩文笑道:“李华聪慧,正是如此。汝等当继续深究。”

戴浩文又道:“再论椭圆焦点与准线之关系。椭圆之准线,与焦点紧密相连。准线方程为 x = ± a2\/c 。”

王强问道:“先生,此准线有何用途?”

戴浩文回道:“王强,准线之于椭圆,犹如规矩之于方圆。椭圆上一点至焦点与至准线之距离,有固定比例,此比例即为离心率 e 。”

张明道:“先生,如此复杂,实难一时领会。”

戴浩文鼓励道:“张明,学问之道,贵乎持之以恒。多加思索,定能通透。”

戴浩文继续讲解:“且说这椭圆焦点与三角形性质,若三角形 pF?F?为等腰三角形,又当如何?”

学生们再度陷入沉思。

李华率先道:“先生,若 pF? = pF? ,是否可推出点 p 在椭圆短轴顶点?”

戴浩文点头道:“李华所言不差。若 pF? = F?F? 或 pF? = F?F? ,又当如何?”

众人皆苦思冥想。

赵婷道:“先生,学生以为可通过距离公式求解。”

戴浩文道:“赵婷思路正确,不妨一试。”

学生们纷纷动笔演算。

戴浩文看着学生们专注之态,心中甚喜。

一堂课毕,戴浩文道:“今日所讲,望诸位课后细细琢磨。”

学生们行礼道:“多谢先生。”

课后,学生们三五成群,讨论着课堂所学。

李华与张明道:“今日之课,实乃深奥,需多下功夫。”

张明应道:“诚然,然有先生教导,定能攻克。”

王强与赵婷亦在探讨,时而争论,时而恍然。

数日后,又至课堂。

戴浩文道:“前次所讲,汝等可有心得?”

学生们纷纷点头。

戴浩文道:“甚好。那吾再出几道题目,以验汝等之所学。”

题目一出,学生们便埋头作答。

戴浩文在堂中巡视,时而点头,时而皱眉。

半晌,李华道:“先生,此题学生解得如此,不知对否?”

戴浩文看后,道:“李华,思路正确,然过程略有疏漏,当谨慎。”

王强亦道:“先生,此问学生不解。”

戴浩文遂为其详细讲解。

如此往复,一堂课在师生之探讨中度过。

随着课程之推进,学生们对椭圆焦点与三角形性质之理解愈发深刻。

又过些时日,戴浩文决定举行一场小考。

考场上,学生们神情专注,奋笔疾书。

考试结束,戴浩文认真批阅。

再至课堂,戴浩文道:“此次小考,汝等表现尚可。然仍有不足之处,需继续努力。”

学生们皆虚心受教。

此后,学生们在椭圆之学问上不断精进,戴浩文亦倍感欣慰。

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